Limit bilangan Euler

Nama    :  Wellyan Fionaris

Kampus : Mahasiswa IT-PLN

Haloo semua! nah materi kali ini kita membahas tentang limit khusus, yakni bilangan euler. o iyaa, walaupun belajar dirumah, tetap stay safe yaa manteman 💓

 Pengertian Limit Euler

        Barisan bilangan dapat dianggap sebagai fungsi dengan domain bilangan asli. Misalkan diberikan fungsi
$f\left(n\right)={(1+\frac{1}{n})}^n$
dengan $n$ bilangan asli.
Rumus fungsi tersebut dapat dikembangkan dengan menerapkan Ekspansi Newton, yaitu

$$\begin{array}{cc}{(1+\frac{1}{n})}^n& =C_0^n+C_1^n\left(\frac{1}{n}\right)+C_2^n{\left(\frac{2}{n}\right)}^2+C_3^n{\left(\frac{3}{n}\right)}^3+\cdots \\ & =1+n\left(\frac{1}{n}\right)+\frac{n(n-1)}{2!\cdot n^2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!\cdot n^3}+\cdots \end{array}$$Untuk $n\to \infty$, ditulis
$$\begin{array}{cc}& \underset{n\to \infty }{lim}{(1+\frac{1}{n})}^n\\ & =1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots \\ & =2+0,5+0,166\cdots +0,041666\cdots +\cdots \\ & =2,7172818\cdots \end{array}$$Bilangan irasional $2,7172818\cdots$ selanjutnya dikenal sebagai bilangan euler dan dinotasikan dengan huruf $e$. Bilangan ini merupakan konstanta penting dalam bidang kalkulus.
Kesimpulan:
$\underset{n\to \infty }{lim}{(1+\frac{1}{n})}^n=e$

Modifikasi Limit Euler

$$\begin{array}{cc}& \underset{n\to \infty }{lim}{(1-\frac{1}{n})}^n=\underset{n\to \infty }{lim}{\left[{(1+\frac{1}{(-n)})}^{-n}\right]}^{-1}=e^{-1}\\ & \underset{n\to \infty }{lim}(1+n{)}^{\frac{1}{n}}=e\\ & \underset{n\to \infty }{lim}(1-n{)}^{\frac{1}{n}}=e^{-1}\end{array}$$

Teorema berikut sangat membantu dalam menyelesaikan persoalan mengenai penentuan nilai limit euler.

Teorema 1: Limit Euler

Apabila $\underset{x\to c}{lim}f\left(x\right)=0$ dan $\underset{x\to c}{lim}g\left(x\right)=\pm \infty$, maka 
$\underset{x\to c}{lim}(1+f(x){)}^{g\left(x\right)}=e^{\underset{x\to c}{lim}f\left(x\right)g\left(x\right)}$

Untuk memantapkan pemahaman mengenai limit euler, berikut disediakan soal dan pembahasan mengenai materi tersebut. Semoga bermanfaat!

Catatan:
Materi limit fungsi aljabar, limit fungsi trigonometri, dan limit tak hingga harus sudah dikuasai sebelumnya.

untuk contoh soal tentang materi berikut,silahkan teman-teman lihat di akun YT aku yaa!@wellyanfionaris. semoga membantu!