Aljabar Linear- Basis dan Dimensi

BASIS DAN DIMENSI

* Defenisi Umum

Pengertian basis untuk ruang vektor V serupa dengan pengertian basis untuk Rⁿ, yang telah kita kenal. Untuk mengenal basis, diperlukan pengertian membangun dan bebas linier. Pengertian membangun telah kita pelajari di materi sebelumnya yaitu kombinasi,bergantung, dan bebas linier . Dengan pengertian bebas linier, himpunan yang membangun V dapat diperkecil sedemikian mungkin sehingga himpunan yang baru tetap membangun V.

* contoh 

Basis : suatu ukuran tertentu yang menyatakan komponen dari sebuah vector. Dimensi biasanya dihubungkan dengan ruang, misalnya garis adalah ruang dengan dimensi 1, bidang adalah uang dengan dimensi 2 dan seterusnya. Definisi basis secara umum adalah sebagai berikut :

Jika V adalah ruang vektor dan S = {v1, v2, v3, ….., vn} adalah kumpulan vektor di dalam V, maka S disebut sebagai basis dari ruang vektor V jika 2 syarat berikut ini dipenuhi :

i. S bebas linier; ii. S serentang V.

Contoh 1

Misalkan e1 = ( 1, 0, 0, … , 0 ), e2 = ( 0, 1, 0, … , 0 ), … , en = ( 0, 0, 0, … , 1 ). Dalam contoh pada pembahasan kebebasan linier, kita telah menunjukkan bahwa S = { e1, e2, … , en } adalah himpunan bebas linier dengan Rn. Karena setiap vector v = (v1, v2, … , vn) pada Rn dapat dituliskan sebagai v = v1e1 + v2e2 + … + vnen, maka S merentang Rn sehingga S adalah sebuah basis. Basis tersebut dinamakan basis baku untuk Rn.

Contoh 2

Misalkan v1 = ( 1, 2, 1 ), v2 = ( 2, 9, 0 ), dan v3 = ( 3, 3, 4). Perlihatkan bahwa himpunan S = { v1, v2, v3 } adalah basis untuk R3.

Pemecahan. Untuk memperlihatkan bahwa S serentang R3, maka kita harus perlihatkan bahwa sembarang vector b = ( b1, b2, b3 ) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier

b = k1v1 + k2v2 + k3v3

dari vector – vector pada S. dengan menyatakan persamaan ini dalam komponen-komponennya maka akan memberikan

( b1, b2, b3 ) = k1 ( 1, 2, 1 ) + k2 ( 2, 9, 0 ) + k3 ( 3, 3, 4 ) atau ( b1, b2, b3 ) = ( k1 + 2k2 + 3k3, 2k1 + 9k2 + 3k3, k1 + 4k3 )

atau

k1 + 2k2 + 3k3 = b1 2k1 + 9k2 + 3k3 = b2 k1 + 4k3 = b3 (1.1)

Definisi :

Ruang vektor tak nol V dikatakan berdimensi hingga, jika V mempunyai basis yang hingga. Banyaknya vektor dalam suatu basis untuk V disebut dimensi (V), disingkat dim(V). dimensi ruang vektor nol didefinisikan nol.

Contoh :

1. Dimensi (Âⁿ) = n sebab memiliki basis yang terdiri dari n vektor.
2. Dimensi (P_n) = n + 1 sebab memiliki basis yang terdiri dari n + 1 vektor
3. Jika M₂ ruang vektor yang terdiri dari matriks 2x2 dengan komponen real maka dimensi (M₂) = 4, sebab M₂ mempunyai basis yang terdiri dari 4 unsur.

Sifat :     Jika V ruang vektor berdimensi n, maka :

1. Setiap himpunan m vektor di V dengan m > n, senantiasa bergantung linier
2. Setiap himpunan n vektor di V yang bebas linier, membentuk basis untuk V
3. Setiap himpunan n vektor di V yang membangun V, membentuk basis untuk V
4. Setiap himpunan k vektor yang bebas linier di V, dengan k < n dapat diperluas menjadi suatu basis untuk V