sistem bilangan

Maret 10, 2020

Nama: Wellyan Fionaris
Mahasiswa STT-PLN

Hallooo! diblog kali ini kita akan memabahas materi tentang Sistem bilangan:)

A. SISTEM BILANGAN
Sistem bilangan adalah sebuah sistem atau metode yang digunakan untuk mewakili besaran atau kuantitas dari obyek tertentu dengan terlebih dahulu menetapkan sebuah bilangan sebagai dasar atau rujukan.

Macam-macam sistem bilangan yang umum dipakai adalah :

1. Sistem bilangan Desimal2. Sistem bilangan Biner3. Sistem bilangan oktal4. Sistem bilangan heksadesimal
penjelasannya adalah sebagai berikut:

1. Sistem bilangan Desimal
Sistem bilanan yang banyak dipergunakan oleh manusia dalam kehidupan sehari-hari.
Sistem ini menggunakan 10 macam symbol yaitu 0,1,2,3,4,5,6,7,8,dan 9. system ini menggunakan basis 10.
Desimal

contoh bilangan desimal adalah : 1,2,11,23,24 dst.
Penulisan bilangan desimal adalah 12,12D,12(10)

2. Sistem bilangan Biner

Notasi:

Sistem bilangan biner menggunakan 2 macam symbol bilangan berbasis 2digit angka, yaitu 0 dan 1. Contoh bilangan 1010.
Penulisan bilangan biner : 1010(2)

3. Sistem bilangan Oktal
Sistem bilangan Oktal menggunakan 8 macam symbol bilangan berbasis 8 digit angka, yaitu 0 ,1,2,3,4,5,6,7.
Notasi:

contoh bilangan oktal : 12(8)
Penulisan bilangan oktal : 12(8).

4. Sistem bilangan Hexadesimal(hexa, hex)

Sistem bilangan Oktal menggunakan 16 macam symbol bilangan berbasis 8 digit angka, yaitu 0 ,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,Edan F
Dimana A = 10, B = 11, C= 12, D = 13 , E = 14 dan F = 15.
Penulisan bilangan hexadesimal: 1F(16), 1FH, 0x1F
Hexadesimal banyak digunakan untuk menuliskan data dalam sistem komputer. Sistem bilangan yang digunakan tetap biner, hanya sering dituliskan sebagai hexadesimal untuk memudahkan user.

Bilangan desimal disebut radix 10 karena jumlah bilangannya adalah 10.
Bilangan biner disebut radix 2 karena jumlah bilangannya adalah 2.
Digit adalah jumlah deretan angka dalam sistem bilangan.

Istilah dalam sistem bilangan biner :
1. Bit –> binary digit
Jumlah digit dalam bilangan biner

2. Niblle —> 4 bit (4 digit bilangan biner )
Mengapa ada 4 bit ? karena untuk mewakili nilai desimal yang cukup diwakili hanya 4 bit pada saat perkembangan kalkulator (sebelum komputer) dulu.

3. Byte —> 8 digit bilangan biner

Mengapa ada 8 bit –> karena awal mula mikroprosesor dulu adalah disebutkan dalam 8 bit lebar data, dan perkembangan mikroprosesor itu adalah berlipat dua dari 8 menjadi 16, 32 dst.

B. Pengertian Bilangan Real

Bilangan riil atau bilangan real adalah sistem bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk desimal. Angka desimal adalah angka berbasis 10 yang dibentuk dari angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ahli matematika mendefinisikan notasi bilangan real sebagai simbol R.

Diperhatikan beberapa simbol berikut:

$\mathbb{N}$ biasa digunakan untuk menyatakan himpunan semua bilangan asli $\{1,2,3,...\}$ ,
$\mathbb{Z}$ biasa digunakan untuk menyatakan himpunan semua bilangan bulat $\{...,-2,-1,0,1,2,...\}$ ,
$\mathbb{Q}$ biasa digunakan untuk menyatakan himpunan semua bilangan rasional $\left\{\frac{a}{b}:a\in\mathbb{Z}\text{ dan } b\in\mathbb{N}\right\}$ ,
$\mathbb{R}$ biasa digunakan untuk menyatakan himpunan semua bilangan real, dan
$\mathbb{C}$ biasa digunakan untuk menyatakan himpunan semua bilangan kompleks $\{a+ib:a,b\in\mathbb{R}\}$ .

Diperhatikan bahwa tidak semua literatur menggunakan simbol-simbol ini. Dengan demikian, harap diperhatikan baik-baik dalam membaca literatur. Dalam website ini digunakan simbol-simbol tersebut untuk pembahasan-pembahasan sebelumnya.

Sifat Sistem Bilangan Real

Untuk sebarang bilangan real $a,b,c$ dan $d$ diperoleh:

sifat komutatif, $a+b=b+a$ dan $ab=ba$ ,
sifat asosiatif, $a+(b+c)=(a+b)+c=a+b+c$ dan $a(bc)=(ab)c=abc$ ,
sifat distributif, $a(b+c)=ab+ac$ ,
jika $b\neq0$ ,

$\displaystyle{\frac{a}{b}=a\frac{1}{b}},$
jika $b,d\neq0$ ,
$\displaystyle{\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}},$
jika $b,d\neq 0$ ,
$\displaystyle{\frac{a}{b}\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}},$
$a(-b)=(-a)b=-(ab)$ ,
$(-a)(-b)=ab$ ,
$-(-a)=a$ ,
jika $a\neq0$ maka
$\displaystyle{\frac{0}{a}=0},$
nilai
$\displaystyle{\frac{a}{0}}$

tidak terdefinisikan,
jika $a\neq 0$ maka
$\displaystyle{\frac{a}{a}=1},$
hukum kanselasi, jika $ac=bc$ dan $c\neq 0$ maka $a=b$ , dan jika $b,c\neq 0$ maka
$\begin{equation*} \frac{ac}{bc}=\frac{a}{b}, \end{equation*}$
sifat pembagi nol, jika $ab=0$ maka $a=0$ atau $b=0$ .

Pada sistem bilangan real berlaku relasi urutan. Didefinisikan beberapa hal berikut.

Bilangan real $a$ dikatakan positif, jika $a>0$ .
Bilangan real $a$ dikatakan negatif, jika $a<0$ .
Bilangan real $a$ dikatakan nonnegatif, jika $a\geq 0$ .

Untuk setiap bilangan real $a,b$ dan $c$ , diperoleh beberapa sifat urutan bilangan real berikut.

Jika $a\leq b$ maka $a+c\leq b+c$ , untuk setiap bilangan real $c$ .
Jika $a\leq b$ dan $b\leq c$ maka $a\leq c$ .
Jika $a\leq b$ dan $c>0$ maka $ac\leq bc$ . Dilain pihak, jika $a\leq b$ dan $c<0$ maka $ac\geq bc$ .
Jika $a>0$ maka $\frac{1}{a}>0$ . Lebih lanjut, jika $0<a\leq b$ maka $\frac{1}{b}\leq\frac{1}{a}$ .
Untuk setiap bilangan real $a$ dan $b$ berlaku tepat satu
$\begin{equation*} a<b,\text{ atau }a=b,\text{ atau }a<b. \end{equation*}$
Jika $a,b\geq 0$ maka
$\begin{equation*} a\leq b \Leftrightarrow a^{2}\leq b^{2} \Leftrightarrow \sqrt{a}\leq \sqrt{b}. \end{equation*}$