Aljabar Linear- Basis dan Dimensi

Transformasi Linear

Definisi : F : v ↔ w ; v dan w Ruang Vektor. F disebut Transformasi Linear jika memenuhi 2 Aksioma berikut.
∀ u,v ∈ v dan k skalar

1) F(u+v) = F(u) + F(v)
2) F(ku) = k.F(u)

Contoh :
1) Diketahui F : R² ↔ R³, tentukan apakah F(x,y) = (x+y, x-y, 2xy) merupakan Transformasi Linear?

Jawab:
Misal u,v ∈ R²
u = (x₁,y₁)
v = (x₂,y₂)
k skalar

1) F(u+v) = F(u) + F(v)

Ruas Kiri

F(u+v) = F( (x₁,y₁) + (x₂,y₂) )
           = F ( x₁+x₂ , y₁+y₂ )
           = ( (x₁+x₂) + (y₁+y₂) , (x₁+x₂) - (y₁+y₂) , 2(x₁+x₂).(y₁+y₂) )
           = ( (x₁+y₁) + (x₂+y₂) , (x₁-y₁) + (x₂-y₂) , 2x₁y₁ + 2x₂y₂ + 2x₁y₂ + 2x₂y₁ )
           = (  x₁+y₁ , x₁-y₁ , 2x₁y₁ ) + ( x₂+y₂ , x₂-y₂ , 2x₂y₂ ) + ( 0 , 0 , 2x₁y₂ + 2x₂y₁ )
           ≠ F(u) + F(v)
(Tidak Memenuhi Aksioma 1)

2) F(ku) = F(k(x₁,y₁))
             = F(kx₁ , ky₁)
             = ( kx₁ + ky₁ , kx₁ - ky₁ , 2kx₁ky₁)
             = ( kx₁ + ky₁ , kx₁ - ky₁ , 2k²x₁y₁)
             = k( x₁+y₁ , x₁-y₁ , 2kx₁y₁)
             ≠ k.F(x₁,y₁)
             ≠ k.F(u)
(Tidak Memenuhi Aksioma 2)

∴ F bukan Transformasi Linear


Contoh yang merupakan Transformasi Linear

2) Diketahui F : R³ ➝ R² , tentukan apakah F(x,y,z) = (2x+y , 5y+z) merupakan Transformasi Linear?

Jawab:
Misal u,v,w ∈ R³
u = (x₁,y₁,z₁)
v = (x₂,y₂,z₂)
k skalar

1) F(u+v) = F(u) + F(v)

Ruas Kiri
F(u+v) = F( (x₁,y₁,z₁) + (x₂,y₂,z₂) )
           = F( x₁+x₂ , y₁+y₂ , z₁+z₂ )
           = 2(x₁+x₂) + (y₁+y₂) , 5(y₁+y₂) + (z₁+z₂)
           = 2x₁ + y₁ + 2x₂ + y₂ , 5y₁ + z₁ + 5y₂ + z₂
           = (2x₁ + y₁ , 5y₁ + z₁) + (2x₂ + y₂ , 5y₂ + z₂)
           = F(u) + F(v)
(Memenuhi Aksioma 1)

2) F(ku) = k.F(u)

F(ku) = F( k(x₁,y₁,z₁) )
         = F(kx₁,ky₁,kz₁)
         = ( 2kx₁+ky₁ , 5ky₁+kz₁ )
         = k (2x₁+y₁ , 5y₁+z₁ )
         = k.F(u)
(Memenuhi Aksioma 2)

∴ Jadi F merupakan Transformasi Linear.

SIFAT TRANSFORMASI LINEAR : KERNEL DAN JANGKAUAN

Pada  bagian ini kita mengembangkan beberapa sifat dasar transformasi linear. Khususnya, kita memperlihatkan bahwa sekali bayangan vektor basis di bawah transformasi linear telah diketahui, maka kita mungkin mencari bayangan vektor yang selebihnya dalam ruang tersebut.

Teorema 1.Jika T:V             W adalahtransformasi linier, maka : (a)    T(0)  = 0 (b)   T(-v) = -T(v) untuksemua v di V (c)    T(v-w) = T(v) – T(w) untuksemu v dan w di V.

Bukti, Misal v adalah sebarang vektor di V. Karena 0v = 0 maka kita peroleh

T(0) = T(0v) = 0T(v) = 0

Yang membuktikan (a).

            Juga, T(-v) = T [(-1)v] = (-1)T(v) –T(v), yang membuktikan (b).

            Akhirnya, v - w = v + (-1)w; jadi

T(v-w) = T(v + (-1)w)

= T(v) + (-1) T(w)

= T(v) – T(w)

Definisi.Jika T:V         W adalahtransformasi linear, makahimpuanvektor di V yang dipetakan T kedalam 0 kitanamakankernel (ruangnol) dari T; himpuantersebutdinyatakanolehker (T). Himpunansemuavektor di W yang merupakanbayangan di bawah T dari paling sedikitatauvektor di V kitanamakanjangkauandari T; himpunantersebutdinyatakanoleh  R(T).