RUANG VEKTOR
A. PENDAHULUAN
Definisi
Suatu ruang vektor adalah suatu himpunan objek yang dapat dijumlahkan satu sama lain dan dikalikan dengan suatu bilangan, yang masing-masing menghasilkan anggota lain dalam himpunan itu.
B. SIFAT-SIFAT ALJABAR SUATU RUANG VEKTOR
Sifat Aljabar sebuah ruang vektor V atas medan K
(1) Hukum kanselasi: x + y = x + z y = z, untuk semua x, y, z V
(2) Vektor 0 V adalah tunggal
(3) Untuk setiap v V , -v V adalah tunggal
(4) 0x = 0 ; (-1)x = -x ; nx = x + x + … + x ( n suku) ; ax = 0 a = 0 atau x = 0 , untuk setiap x V dan a K.
C. SUBRUANG (SUBSPACE)
1. Kriteria Subruang. Jika V adalah ruang vektor atas medan K dan S V dan S ≠ , maka S adalah
subruang dari V jika dan hanya jika a. x, y S x + y S , untuk setiap x, y S b. k K, x S kx S, untuk
setiap x S , k K. 3.
2. Irisan subruang. Jika S, T adalah subruang dari ruang vektor V atas medan K, maka S T adalah
subruang dari V.
D. HIMPUNAN PEMBANGUN ATAU PERENTANG
Jika V adalah ruang vektor atas medan K , S = {x1, x2, …} V dan c1, c2, …, cn adalah skalar, bentuk c1x1 + c2x2 + … + cnxn disebut kombinasi linear dari S.
a. Sp(S) = { c1x1 + c2x2 + … + cnxn xi S, ci K }, himpunan semua kombinasi linear dari S. Untuk
S = , didefinisikan Sp(S) = {0}.
b. Sp(S) adalah subruang dari V; S disebut himpunan pembangun dari Sp(S).
( Jika v1, v2, … , vr adalah vektor-vektor di dalam sebuah ruang vektor V dan jika tiap-tiap vektor di dalam V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari v1, v2, … , vr maka kita katakan bahwa vektor-vektor ini membangun/merentang V )
E. BERGANTUNGAN LINEAR
1. Misalkan V ruang vektor atas medan K dan S = {v1, v2, … vr V}.
2. S disebut bergantungan linear/ tak bebas linear (linearly dependent) jika persamaan c1x1 + c2x2 + … + cnxn = 0 menghasilkan nilai-nilai cr yang tidak semuanya 0. Jika dalam persamaan itu memberikan semua cr = 0, maka S disebut bebas linear (linearly independent).
3. Jika y = c1x1 + c2x2 + … + cnxn, maka dikatakan y bergantungan linear pada S
Definisi
Suatu ruang vektor adalah suatu himpunan objek yang dapat dijumlahkan satu sama lain dan dikalikan dengan suatu bilangan, yang masing-masing menghasilkan anggota lain dalam himpunan itu.
B. SIFAT-SIFAT ALJABAR SUATU RUANG VEKTOR
Sifat Aljabar sebuah ruang vektor V atas medan K
(1) Hukum kanselasi: x + y = x + z y = z, untuk semua x, y, z V
(2) Vektor 0 V adalah tunggal
(3) Untuk setiap v V , -v V adalah tunggal
(4) 0x = 0 ; (-1)x = -x ; nx = x + x + … + x ( n suku) ; ax = 0 a = 0 atau x = 0 , untuk setiap x V dan a K.
C. SUBRUANG (SUBSPACE)
1. Kriteria Subruang. Jika V adalah ruang vektor atas medan K dan S V dan S ≠ , maka S adalah
subruang dari V jika dan hanya jika a. x, y S x + y S , untuk setiap x, y S b. k K, x S kx S, untuk
setiap x S , k K. 3.
2. Irisan subruang. Jika S, T adalah subruang dari ruang vektor V atas medan K, maka S T adalah
subruang dari V.
D. HIMPUNAN PEMBANGUN ATAU PERENTANG
Jika V adalah ruang vektor atas medan K , S = {x1, x2, …} V dan c1, c2, …, cn adalah skalar, bentuk c1x1 + c2x2 + … + cnxn disebut kombinasi linear dari S.
a. Sp(S) = { c1x1 + c2x2 + … + cnxn xi S, ci K }, himpunan semua kombinasi linear dari S. Untuk
S = , didefinisikan Sp(S) = {0}.
b. Sp(S) adalah subruang dari V; S disebut himpunan pembangun dari Sp(S).
( Jika v1, v2, … , vr adalah vektor-vektor di dalam sebuah ruang vektor V dan jika tiap-tiap vektor di dalam V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari v1, v2, … , vr maka kita katakan bahwa vektor-vektor ini membangun/merentang V )
E. BERGANTUNGAN LINEAR
1. Misalkan V ruang vektor atas medan K dan S = {v1, v2, … vr V}.
2. S disebut bergantungan linear/ tak bebas linear (linearly dependent) jika persamaan c1x1 + c2x2 + … + cnxn = 0 menghasilkan nilai-nilai cr yang tidak semuanya 0. Jika dalam persamaan itu memberikan semua cr = 0, maka S disebut bebas linear (linearly independent).
3. Jika y = c1x1 + c2x2 + … + cnxn, maka dikatakan y bergantungan linear pada S
Komentar
Posting Komentar