NIlai Eigen dan vektor eigen

Assalammualaikum wr.wb

halooooooooo sobat tematik. kali ini kita bahas ke bab berikutnya yaaaaa. Tentang nilai eigen dan vektor eigen. cuss materiiii:))

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN 

Nilai Eigen (${\displaystyle \lambda }$) adalah nilai karakteristik dari suatu matriks berukuran n x n, sementara vektor Eigen (${\displaystyle x}$) adalah vektor kolom bukan nol yang bila dikalikan dengan suatu matriks berukuran n x n akan menghasilkan vektor lain yang memiliki nilai kelipatan dari vektor Eigen itu sendiri.Definisi tersebut berlaku untuk matriks dengan elemen bilangan real dan akan mengalami pergeseran ketika elemen berupa bilangan kompleks. Untuk setiap nilai Eigen ada pasangan vektor Eigen yang berbeda, namun tidak semua persamaan matriks memiliki nilai Eigen dan vektor Eigen. Nilai Eigen dan vektor Eigen berguna dalam proses kalkulasi matriks, di mana keduanya dapat diterapkan dalam bidang Matematika murni dan Matematika terapan seperti transformasi linear.

Kumpulan pasangan nilai dan vektor Eigen dari suatu matriks berukuran n x n disebut sistem Eigen dari matriks tersebut. Ruang Eigen dari ${\displaystyle \lambda }$ merupakan kumpulan vektor Eigen yang berpasangan dengan ${\displaystyle \lambda }$ yang digabungkan dengan vektor nol. Istilah Eigen seringkali diganti dengan istilah karakteristik, di mana kata ‘’’Eigen’’’ yang berasal dari bahasa Jerman memiliki arti ‘’asli’’ dalam konteks menjadi ciri khas atau karakteristik dari suatu sifat.

Definisi

Misalkan $A$ matriks berukuran $n \times n$. Vektor tak nol $x$ di $\mathbb{R}^n$ disebut sebagai vektor eigen dari $A$, jika $A \textbf{x}$ merupakan kelipatan skalar dari $\textbf{x}$, yaitu$A \textbf{x} = \lambda \textbf{x}$untuk suatu skalar $\lambda$. Skalar $\lambda$ disebut nilai eigen matriks $A$ dan $\textbf{x}$ disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan $\lambda$.

Teorema

Misalkan $A$ adalah matriks dengan ordo $n \times n$, dan $\textbf{x} \in \mathbb{R}^n$. Jika $A \textbf{x} = \textbf{0}$ mempunyai solusi non trivial maka $\text{det}(A)=0$.

Bukti

Misalkan $A$ matriks berukuran $n \times n$, dan $\textbf{x} \in \mathbb{R}^n$. Kita akan membuktikan teorema ini dengan kontraposisi. Kontraposisi teorema ini adalah "Jika $\text{det}(A) \neq 0$ maka $A \textbf{x} = \textbf{0}$ hanya mempunyai solusi trivial".

Diketahui $\text{det}(A) \neq 0$, yang berakibat $A$ mempunyai invers. Kalikan kedua ruas persamaan $A \textbf{x} = \textbf{0}$ dari kiri dengan $A^{-1}$, sehingga$\begin{aligned} A^{-1}(A \textbf{x}) &= A^{-1} \textbf{0} \\ (A^{-1} A) \textbf{x} &= \textbf{0} \\ I \textbf{x} &= \textbf{0} \\ \textbf{x} &= \textbf{0} \end{aligned}$Diperoleh $\textbf{x}=\textbf{0}$, artinya persamaan $A \textbf{x} = \textbf{0}$ hanya mempunyai solusi trivial. Terbukti.

Contoh

Tentukan nilai eigen matriks $B=\begin{bmatrix} 0&0&-2\\ 1&2&1\\ 1&0&3 \end{bmatrix}$.

Pembahasan

Kurangi entri pada diagonal matriks $B$ dengan $\lambda$ untuk memperoleh$B-\lambda I=\begin{bmatrix} -\lambda & 0 & -2 \\ 1 & 2-\lambda & 1 \\ 1 & 0 & 3-\lambda \end{bmatrix}$

Selanjutnya, kita tentukan determinan matriks di atas. Nilai determinan matriks $3 \times 3$ dapat dihitung menggunakan beberapa cara, seperti metode sarrus dan ekspansi kofaktor. Dalam tulisan ini, kita menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang kolom kedua untuk memperoleh$\begin{aligned} \begin{vmatrix} -\lambda & 0 & -2 \\ 1 & 2-\lambda & 1 \\ 1 & 0 & 3-\lambda \end{vmatrix} &= (2-\lambda) \left| \begin{array}{cc} -\lambda&-2\\ 1&3-\lambda \end{array} \right| \\ &= (2-\lambda)[-\lambda(3-\lambda)-1(-2)] \\ &= (2-\lambda)(\lambda^2-3\lambda+2) \\ &= (2-\lambda)(\lambda-2)(\lambda-1) \end{aligned}$

Nilai eigen diperoleh jika determinan $(2-\lambda)(\lambda-2)(\lambda-1)$ bernilai 0. Ini terjadi jika $\lambda=2$ atau $\lambda=1$. Jadi, nilai eigen matriks $B$ adalah $\lambda=3$ dan $\lambda=-2$.

Perhitungan Nilai dan Vektor Eigen

Perhitungan nilai dan vektor Eigen tetap mengguankan perhitungan matriks dasar, yaitu penjumlahan matriks dan perkalian matriks. Perhitungan dimulai dengan mencari nilai Eigen, kemudian dengan nilai Eigen diperoleh (dapat berjumlah lebih dari 1 nilai) akan dihitung vektor Eigen untuk masing - masing nilai yang memenuhi persamaan.

Contoh

Misalkan diketahui suatu matriks A berukuran 3 x 3 dengan nilai seperti di bawah ini.

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\4&-17&8\\\end{pmatrix}}}$

Untuk mencari nilai Eigen akan digunakan polinomial karakteristik dan persamaan karakteristik dari matriks A.^[1][2] Pertama - tama akan dihitung polinomial karakteristik dari matriks A:

${\displaystyle f(\lambda )=det(A-\lambda I)}$

${\displaystyle f(\lambda )=det\left({\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\4&-17&8\\\end{pmatrix}}-\lambda \cdot {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\right)=det{\begin{pmatrix}-\lambda &1&0\\0&-\lambda &1\\4&-17&8-\lambda \\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle f(\lambda )=-\lambda \cdot {\begin{bmatrix}-\lambda &1\\-17&8-\lambda \\\end{bmatrix}}-1\cdot {\begin{bmatrix}0&1\\4&8-\lambda \\\end{bmatrix}}+0\cdot {\begin{bmatrix}0&-\lambda \\4&-17\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle f(\lambda )=-\lambda (-\lambda (8-\lambda )-1(-17))-(0(8-\lambda )-4(1))=-\lambda (-8\lambda +\lambda ^{2}+17)-(-4)=8\lambda ^{2}-\lambda ^{3}-17\lambda +4}$

Kemudian nilai Eigen dapat dihitung lewat persamaan karakteristik:

${\displaystyle f(\lambda )=0}$

${\displaystyle -\lambda ^{3}+8\lambda ^{2}-17\lambda +4=0}$

${\displaystyle \lambda ^{3}-8\lambda ^{2}+17\lambda -4=0}$

(Persamaan karakteristik dapat difaktorkan menggunakan teorema sisa atau teknik pemfaktoran polinomial lainnya)

${\displaystyle (\lambda -4)(\lambda ^{2}-4\lambda +1)=0}$

${\displaystyle \lambda _{1}=4,\lambda _{2}=2+{\sqrt {3}},\lambda _{3}=2-{\sqrt {3}}}$

Dengan melakukan substitusi nilai Eigen ke dalam persamaan ${\displaystyle (A-\lambda I)x=0}$, maka akan diperoleh suatu persamaan baru.

${\displaystyle (A-\lambda _{1}I)x=0}$

${\displaystyle \left({\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\4&-17&8\\\end{pmatrix}}-4{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\right){\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-4&1&0\\0&-4&1\\4&-17&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\\end{pmatrix}}}$

Vektor Eigen untuk masing - masing nilai Eigen kemudian dapat ditentukan dengan melakukan operasi baris elementer atau teknik eliminasi sistem persamaan linear lainnya.^[2] Sehingga akan diperoleh vektor Eigen untuk ${\displaystyle \lambda =4}$ adalah

${\displaystyle {\vec {v}}_{1}={\begin{pmatrix}0,0625\\0,25\\1\\\end{pmatrix}}}$

SEMOGA MEMBANTU YA GUYS:))