Matriks Lanjutan 1 - Operasi Matriks dan Sifat-sifatnya

Hallo semua! Selamat datang kembali ke Blog ini. Blog yang terlahir kalau bukan karna penugasan😅 btw itu tidak penting sekarang, cuss ke materi ↓↓↓↓↓

Operasi Hitung (Penjumlahan, Pengurangan, Perkalian) Matriks dan Sifat-sifatnya

     Materi operasi hitung pada matriks meliputi operasi hitung penjumlahan, pengurangan, dan perkalian matriks. Operasi hitung penjumlahan dan pengurangan pada dua buah matrik dapat dilakukan jika dua buah matriks tersebut memiliki ukuran yang sama. Ukuran matriks yang sama ditunjukkan dengan baris dan kolom pada matriks tersebut sama. Sedangkan pada perkalian matriks, operasi hitung dapat dilakukan jika matriks pertama memiliki jumlah kolom yang sama banyaknya dengan jumlah baris pada matriks ke dua.

Penjumlahan Matriks

Operasi hitung matriks pada penjumlahan memiliki syarat yang harus dipenuhi agar dua buah matriks dapat dijumlahkan. Syarat dari dua buah matriks atau lebih dapat dijumlahkan jika memiliki nilai ordo yang sama. Artinya, semua matriks yang dijumlahkan harus memiliki jumlah baris dan kolom yang sama.
Matriks dengan jumlah baris 3 dan kolom 4 hanya bisa dijumlahkan dengan matriks dengan jumlah baris 3 dan kolom 4. Matriks dengan jumlah baris 3 dan kolom 4 tidak bisa dijumlahkan dengan matriks dengan jumlah baris 4 dan kolom 3. Kesimpulannya, jumlah baris dan kolom antar dua matriks yang akan dijumlahkan harus sama.
Operasi hitung penjumlahan matriks memenuhi sifat komutatif, asosiatif, memiliki matriks identitas matriks nol, dan memiliki lawan matriks. Lawan matriks A adalah matriks -A, di mana elemen-elemen matriks -A merupakan lawan dari elemen-elemen matriks A. Secara ringkas, sifat operasi penjumlahan matriks dapat dilihat pada gambar di bawah.
Sifat-sifat operasi penjumlahan matriks
 Selanjutnya, kita akan mempelajari cara melakukan operasi hitung penjumlahan dua buah matriks. Penjelasan akan diberikan dalam bentuk contoh soal secara umum.
Contoh cara melakukan operasi penjumlahan pada matriks:
Penjumlahan Matriks

Pengurangan Matriks

Seperti halnya operasi hitung penjumlahan matriks, syarat agar dapat mengurangkan elemen-elemen antar matriks adalah matriks harus memiliki nilai ordo yang sama. Cara melakukan operasi pengurangan pada matriks dapat dilihat seperti cara di bawah.
Pengurangan Matriks
Cara melakukan operasi pengurangan dua matriks tidak jauh berbeda dengan penjumlahan matriks. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal pengurangan matriks secara umum yang akan diberikan di bawah.
Contoh cara melakukan operasi pengurangan pada matriks:

Pengurangan Dua Matriks

Perkalian Matriks

Matriks dapat dikalikan dengan sebuah bilangan bulat atau dengan matriks lain. Kedua perkalian tersebut memiliki syarat-syarat masing-masing.

Perkalian Matriks dengan bilangan bulat

Suatu matriks dapat dikalikan dengan bilangan bulat, maka hasil perkalian tersebut berupa matriks dengan elemen-elemennya yang merupakan hasil kali antara bilangan dan elemen-elemen matriks tersebut. Jika matriks A dikali dengan bilangan r, maka r.A = (r.a_{ij}). Contoh:
Jika \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} dan bilangan r = 2, maka:
r.A = 2 . \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2.1 & 2.4 \\ 2.2 & 2.5 \\ 2.3 & 2.6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 8 \\ 4 & 10 \\ 6 & 12 \end{pmatrix}
Perkalian matriks dengan bilangan bulat dikombinasikan dengan penjumlahan atau pengurangan matriks dapat dilakukan pada matriks dengan ordo sama. Berikut sifat-sifat perkaliannya:
  • r(A + B) = rA + rB
  • r(A – B) = rA – rB

Perkalian dua matriks

Perkalian antara dua matriks yaitu matriks A dan B, dapat dilakukan jika jumlah kolom A sama dengan jumlah baris B. Perkalian tersebut menghasilkan suatu matriks dengan jumlah baris sama dengan matriks A dan jumlah saman dengan matriks B, sehingga:

perkalian matriks
Elemen-elemen matriks C_{(m \times s)} merupakan penjumlahan dari hasil kali elemen-elemen baris ke-i matriks A dengan kolom ke-j matiks B. Berikut skemanya:
perkalian elemen matriks
Misalkan matriks A memiliki ordo (3 x 4) dan matriks B memiliki ordo (4 x 2), maka matriks C memiliki ordo (3 x 2). Elemen C pada baris ke-2 dan kolom ke-2 atau a22 diperoleh dari jumlah hasil perkalian elemen-elemen baris ke-2 matriks A dan kolom ke 2 matriks B. Contoh:
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 & 3 \\ 2 & 5 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 2 & 2 \end{pmatrix} dan B = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \\ 2 & 5 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}
maka:
A \cdot B = C = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 & 3 \\ 2 & 5 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 2 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \\ 2 & 5 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}
C = \begin{pmatrix} (a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + a_{13}b_{31} a_{14}b_{41}) & (a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} + a_{13}b_{32} a_{14}b_{42}) \\ (a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} + a_{23}b_{31} a_{24}b_{41}) & (a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} + a_{23}b_{32} a_{24}b_{42}) \\ (a_{31}b_{11} + a_{32}b_{21} + a_{33}b_{31} a_{34}b_{41}) & (a_{31}b_{12} + a_{32}b_{22} + a_{33}b_{32} a_{34}b_{42}) \end{pmatrix}
C = \begin{pmatrix}(2.1 + 1.3 + 4.2 + 3.1) & (2.3 + 1.2 + 4.5 + 3.4) \\ (2.1 + 5.3 + 1.2 + 2.1) & (2.3 + 5.2 + 1.5 + 2.4) \\ (1.1 + 3.3 + 2.2 + 2.1) & (1.3 + 3.2 + 2.5 + 2.4) \end{pmatrix}
C = \begin{pmatrix} 16 & 40 \\ 21 & 29 \\ 16 & 27 \end{pmatrix}
Perlu diingat sifat dari perkalian dua matriks bahwa:
A x B ≠ B x A
Sebagai pembuktian, diketahui A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} dan B = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} maka:
AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 13 \\ 7 & 14 \end{pmatrix}
BA = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & 9 \\ 11 & 10 \end{pmatrix}
Terbukti bahwa A x B ≠ B x A. Ada sifat-sifat lain dari perkalian matriks dengan bilangan atau dengan matriks lain, sebagai berikut:
  • k(AB) = (kA)B
  • ABC = (AB)C = A(BC)
  • A(B + C) = AB + AC
  • (A + B)C = AC + BC
Determinan

   Penulisan atau Notasi Determinan
 Determinan dari suatu matriks bisa dituliskan dengan menambahkan 2 buah garis lurus yang mengapit matriks tersebut atau berupa tulisan. Untuk lebih jelasnya bisa lihat dibawah ini.
⇒ Misalnya diketahui adalah matriks A seperti gambar dibawah
Determinan Matriks Pembahasan Beserta Contoh Soal

Determinan Matriks Pembahasan Beserta Contoh Soal

Konsep Determinan Matriks

Setelah memahami 2 hal diatas tadi, selanjutnya kita lanjut ke konsep determinan matriks itu sendiri. Untuk tingkat SMA sendiri, yang akan dipelajari yaitu matriks ordo 2×2 dan ordo 3×3. Nah untk itu kita akan membahasnya satu persatu.
⇒ Matriks Ordo 2×2
Nah untuk matriks ordo 2×2 ini masih sederhana, kita cukup memahami yang namanya diagonal utama dan diagonal samping untuk menyelesaikan soal determinan matriks 2×2 ini.
Determinan Matriks Ordo 2x2
⇒ Matriks Ordo 3×3
Untuk determinan dari matriks ordo 3×3 ini sedikit rumit, namun konsepnya masih sama seperti ordo 2×2 tadi yaitu dengan cara mengurangkan diagonal utama dengan diagonal samping.
Determinan Matriks Ordo 3x3
Dalam penyelesaian matriks 3 x 3, ada beberapa istilah yang harus kita ketahui yaitu determinan       sarrus, minor, kofaktor, dan adjoin


    Nilai determinanya sarrusnya menjadi = a x e x | + b x f x g – c x d x h – c x e x g – a x f x h –               b x d x |. Selanjutnya penentuan Adjoin A dapat terlihat dari gambar dibawah ini.
    Dari gambar terlihat terdapat simbol C kapital, di mana letak nilai C sudah ditranspos dari         baris ke kolom. C merupakan singkatan dari kofaktor.Penentuan nilai kofaktor diperoleh             dari penentuan nilai minor suatu matriks . Penentuan nilai kofaktor dan minor adalah                     sebagai berikut:
  Misalkan ada sebuah matriks A3x3
A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{bmatrix}
maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,
det(A) = a11\begin{bmatrix}a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33}\\ \end{bmatrix} - a12\begin{bmatrix}a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33}\\ \end{bmatrix} + a13\begin{bmatrix}a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32}\\ \end{bmatrix}
= a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32
Contoh Soal:
A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 4\\ 3 & 2 & 1\\ \end{bmatrix} tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor baris pertama
Jawab:
det(A) = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 4\\ 3 & 2 & 1\\ \end{bmatrix} = 1\begin{bmatrix} 5 & 4\\2 & 1\\ \end{bmatrix} - 2\begin{bmatrix} 4 & 4\\ 3 & 1\\ \end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix} 4 & 5\\3 & 2\\ \end{bmatrix} = 1(-3) - 2(-8) + 3(-7) = -8

   Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama

   Pada dasarnya ekspansi kolom hampir sama dengan ekspansi baris seperti di atas. Tetapi ada       satu hal yang membedakan keduanya yaitu faktor pengali. Pada ekspansi baris, kita mengalikan   minor dengan komponen baris pertama. Sedangkan dengan ekspansi pada kolom pertama, kita     mengalikan minor dengan kompone kolom pertama.
Misalkan ada sebuah matriks A3x3
A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{bmatrix}
maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,
det(A) = a11\begin{bmatrix}a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33}\\ \end{bmatrix} - a21\begin{bmatrix}a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33}\\ \end{bmatrix} + a31\begin{bmatrix}a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32}\\ \end{bmatrix}
= a11(a22a33 - a23a32) - a21(a21a33 - a23a31) + a31(a21a32 - a22a31)
= a11a22a33 + a21a23a31 + a31a21a32 - a22(a31)2 - (a21)2a33 - a11a23a32
Contoh Soal:
A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 4\\ 3 & 2 & 1\\ \end{bmatrix}tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor kolom pertama
  Jawab:

det(A) = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 4\\ 3 & 2 & 1\\ \end{bmatrix}= 1\begin{bmatrix} 5 & 4\\2 & 1\\ \end{bmatrix} - 4\begin{bmatrix} 4 & 4\\ 3 & 1\\ \end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix} 4 & 5\\3 & 2\\ \end{bmatrix} = 1(-3) - 4(-8) + 3(-7) = 8

  Adjoin Matriks 3 x 3

  Bila ada sebuah matriks A3x3
A = \begin{bmatrix} 3&2&-1\\ 1&6&3 \\ 2&14&0\\ \end{bmatrix}
  Kofaktor dari matriks A adalah
C11 = 12 C12 = 6 C13 = -16
C21 = 4 C22 = 2 C23 = 16
C31 = 12 C32 = -10 C33 = 16
 maka matriks yang terbentuk dari kofaktor tersebut adalah
\begin{bmatrix} 12&6&-16\\ 4&2&16\\ 12&-10&16\\ \end{bmatrix}
 untuk mencari adjoint sebuah matriks, kita cukup mengganti kolom menjadi baris dan baris menjadi kolom
adj(A) = \begin{bmatrix} 12&4&12\\ 6&2&-10\\ -16&16&16\\ \end{bmatrix}


Sekian dan semoga membantu yaa!

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI

Gambar
Nama : Wellyan Fionaris Mahasiswa : ITPLN 1. pengertian Fungsi , dalam istilah  matematika  adalah pemetaan setiap anggota sebuah  himpunan  (dinamakan sebagai  domain ) kepada anggota  himpunan  yang lain (dinamakan sebagai  kodomain ). Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya ber fungsi  dengan baik.”  Konsep  fungsi adalah salah satu konsep dasar dari  matematika  dan setiap  ilmu  kuantitatif. Istilah " fungsi ", " pemetaan ", " peta ", " transformasi ", dan " operator " biasanya dipakai secara  sinonim . Anggota himpunan yang dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek lain), namun biasanya yang dibahas adalah besaran matematika seperti  bilangan riil . Contoh sebuah fungsi dengan domain dan kodomain himpunan bilangan riil adalah  y = f ( 2x ), yang menghubungkan suatu bilangan riil dengan bilangan riil lain yang...
Baca selengkapnya

Aljabar Linear- Basis dan Dimensi

BASIS DAN DIMENSI * Defenisi Umum Pengertian basis untuk ruang vektor V serupa dengan pengertian basis untuk R n , yang telah kita kenal. Untuk mengenal basis, diperlukan pengertian membangun dan bebas linier. Pengertian membangun telah kita pelajari di materi sebelumnya yaitu  kombinasi,bergantung, dan bebas linier  . Dengan pengertian bebas linier, himpunan yang membangun V dapat diperkecil sedemikian mungkin sehingga himpunan yang baru tetap membangun V. * contoh  Basis : suatu ukuran tertentu yang menyatakan komponen dari sebuah vector. Dimensi biasanya dihubungkan dengan ruang , misalnya garis adalah ruang dengan dimensi 1, bidang adalah uang dengan dimensi 2 dan seterusnya. Definisi basis secara umum adalah sebagai berikut : Jika V adalah ruang vektor dan S = {v1, v2, v3, ….., vn} adalah kumpulan vektor di dalam V, maka S disebut sebagai basis dari ruang vektor V jika 2 syarat berikut ini dipenuhi : i. S bebas linier; ii. S serentang ...
Baca selengkapnya